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\title{《常微分方程》课程实际例子列表}
\author{无名氏}

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\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

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% 本科《常微分方程》课程实际模型完整列表
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\begin{frame}[allowframebreaks]{A. }

1. 自由落体运动  
   $$ \frac{d^2 z}{dt^2} = -g $$  
   描述物体在重力作用下的垂直运动。是最简单的二阶常微分方程，体现加速度恒定，可用于引入初值问题和积分求解。

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2. 条形磁铁的磁场（磁偶极子沿轴线）  
   $$ \frac{dB}{dx} = -\frac{3B}{x} \quad \text{（近似）} \quad \Rightarrow \quad B(x) = \frac{C}{x^3} $$  
   磁场强度 $ B $ 沿轴线随距离 $ x $ 衰减，满足可分离变量的一阶ODE，体现物理场的幂律衰减特性。

\newpage 

3. 特技跳伞（含空气阻力）  
   $$ m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2 $$  
   考虑空气阻力与速度平方成正比，是非线性一阶ODE。存在极限速度（终端速度），可用于讨论平衡解与稳定性。

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4. RL串联电路  
   $$ L \frac{di}{dt} + R i = V(t) $$  
   描述电感 $ L $ 和电阻 $ R $ 串联电路中电流 $ i(t) $ 的变化。一阶线性非齐次方程，经典电学应用。

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5. 人口数量（Malthus模型）  
   $$ \frac{dP}{dt} = rP $$  
   假设增长率 $ r $ 恒定，人口指数增长。可分离变量，体现无约束增长，常用于对比Logistic模型。

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6. 捕食者-被捕食者模型（Lotka-Volterra）  
   $$
   \begin{cases}
   \frac{dx}{dt} = ax - bxy \\
   \frac{dy}{dt} = -cy + dxy
   \end{cases}
   $$  
   描述两个物种（如兔与狐）的相互作用。非线性平面系统，存在周期解（闭轨），体现生态平衡与振荡。

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7. 追线问题（狗追人）  
   $$ \frac{dy}{dx} = \frac{y - y_0(t)}{x - x_0(t)} \quad \text{结合运动学关系} $$  
   追击者速度方向始终指向目标。导出非线性一阶ODE或微分-代数系统，体现几何与运动学结合。

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8. 逃逸速度（地球引力场）  
   $$ \frac{1}{2} v^2 - \frac{GM}{r} = \text{常数} \quad \text{（能量守恒，首次积分）} $$  
   由二体问题能量守恒导出，最小初速度使物体脱离引力束缚。体现首次积分与物理守恒律。

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9. 传染病模型（SIR模型）  
   $$
   \begin{cases}
   \frac{dS}{dt} = -\beta SI \\
   \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \\
   \frac{dR}{dt} = \gamma I
   \end{cases}
   $$  
   将人群分为易感者 $ S $、感染者 $ I $、康复者 $ R $。非线性系统，用于分析疫情传播阈值与最终规模。

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10. 单摆运动  
    $$ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{\ell} \sin\theta = 0 $$  
    非线性二阶ODE。小角度近似下为简谐振动；大角度时需用椭圆积分或数值方法，体现非线性效应。

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11. 悬链线  
    $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{a} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} $$  
    描述均匀柔性链条在重力下的平衡形状。可通过代换 $ u = y' $ 化为可分离变量方程，解为双曲余弦函数 $ y = a \cosh(x/a) $。

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12. 二体问题（行星轨道）  
    $$ \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{GM}{|\mathbf{r}|^3} \mathbf{r} $$  
    牛顿万有引力定律导出的二阶向量ODE。利用角动量守恒和能量守恒可约化，解为圆锥曲线。

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13. 弹簧振子（无阻尼）  
    $$ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 $$  
    简谐振动基本模型，二阶线性齐次方程，解为正弦/余弦函数，体现周期性与能量守恒。

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14. 牛顿冷却定律  
    $$ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{env}}) $$  
    物体温度 $ T $ 趋近环境温度 $ T_{\text{env}} $。一阶线性方程，解为指数衰减，用于工程散热等。

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15. 放射性衰变  
    $$ \frac{dN}{dt} = -\lambda N $$  
    原子核数量 $ N $ 随时间指数衰减。可分离变量，引入半衰期概念，与人口增长形成对比。

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16. 混合问题（盐水罐）  
    $$ \frac{dq}{dt} = r c_{\text{in}} - r \frac{q}{V} $$  
    $ q $：罐中盐量，$ r $：流速，$ c_{\text{in}} $：入口浓度，$ V $：体积。一阶线性非齐次方程，经典应用题。

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17. RLC串联电路  
    $$ L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = V(t) $$  
    电荷 $ q $ 满足二阶线性非齐次方程。与弹簧振子类比（$ L \leftrightarrow m, R \leftrightarrow c, 1/C \leftrightarrow k $），体现机电类比。

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18. Logistic人口模型  
    $$ \frac{dP}{dt} = rP \left(1 - \frac{P}{K}\right) $$  
    考虑环境承载力 $ K $，增长率先增后减。非线性一阶方程，有稳定平衡点 $ P=K $，展示S型增长。

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19. 一级化学反应  
    $$ \frac{d[A]}{dt} = -k[A] $$  
    反应物浓度指数衰减。数学形式同放射性衰变，体现跨学科建模的统一性。

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20. 梁的弯曲（Euler-Bernoulli）  
    $$ \frac{d^4y}{dx^4} = \frac{w(x)}{EI} $$  
    $ y $：挠度，$ w(x) $：载荷，$ E $：弹性模量，$ I $：惯性矩。四阶线性常微分方程，需边界条件求解。

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21. 最速降线问题  
    $$ \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{2a - y}{y}} \quad \text{（化简后）} $$  
    寻找下滑时间最短的曲线。由变分法导出，解为摆线，体现几何最优化与ODE联系。

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22. 等角螺线（对数螺线）  
    $$ \frac{dr}{d\theta} = k r $$  
    极坐标下，半径随角度指数增长。解为 $ r = ae^{k\theta} $，常见于生物生长模式。

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23. 火箭推进（变质量）  
    $$ m \frac{dv}{dt} = -v_{\text{rel}} \frac{dm}{dt} - mg $$  
    考虑质量变化，$ v_{\text{rel}} $：喷气相对速度。一阶线性方程，解出速度与质量关系（齐奥尔科夫斯基公式）。

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24. Leaky Integrate-and-Fire 神经元模型  
    $$ \tau \frac{dV}{dt} = -(V - V_{\text{rest}}) + R I(t) $$  
    简化神经元膜电位 $ V $ 动态。一阶线性ODE，用于计算神经科学中的发放模式研究。

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25. 药物动力学（单室模型）  
    $$ \frac{dC}{dt} = -k C + \frac{D}{V} \delta(t) \quad \text{或连续输入} $$  
    药物浓度 $ C $ 在体内代谢。一阶线性方程，用于设计给药间隔与剂量。

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26. 行星轨道的径向运动（有效势能）  
    $$ \frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{d}{dr} \left( \frac{l^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} \right) $$  
    利用角动量 $ l $ 守恒将二维问题约化为一维运动，体现首次积分用于降阶。

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27. 范德波尔振子  
    $$ \frac{d^2x}{dt^2} - \mu(1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0 $$  
    非线性阻尼振荡器，$ \mu > 0 $。存在稳定极限环，体现自激振荡，应用于电子电路建模。

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28. 一维稳态热传导  
    $$ \frac{d^2T}{dx^2} + \frac{q(x)}{k} = 0 $$  
    温度 $ T(x) $ 满足二阶常微分方程，$ q(x) $：内热源密度，$ k $：导热系数。典型边值问题（BVP）。

\end{frame}
 
\begin{frame}{使用建议}

\begin{itemize}

\item 按数学类型分类教学：一阶、高阶、线性、非线性、系统、边值问题等。
\item 强调首次积分与守恒律：如能量（单摆、二体）、角动量（二体）、电荷（电路）。
\item 引入定性分析：相图、平衡点、稳定性（Logistic、SIR、范德波尔）。
\item 鼓励建模实践：让学生从实际问题出发，建立微分方程并求解分析。
\end{itemize}

\end{frame}
\end{document}

